Leibniz,series infinitas y los números poligonales

Aprovechando la follada el examen de series y cálculo, me he decidido a crear una entrada sobre series infinitas. Allá vamos.

Todos conocéis a Leibniz, ese filósofo, matemático,jurista,bibliotecario,lógico, político,cajero del Alcampo, un hombre el cual su logro máximo fue el de desarrollar el cálculo infinitesimal y cuya notación aun conservamos en nuestros días. El mismo que llevo al gran Newton a juicio para resolver cual de los dos era el primer creador del cálculo infinitesimal. Aquí un video panchoexplicativo sobre ello.

Leibniz, a pesar de sus dotes como matemático, no era reconocido como tal. Recordemos que su principal empleo era jurista,vamos,un abogado de toda la vida. Para ello, era necesario que empezara a formar parte de los círculos matemáticos y científicos de la época,la cual no iba a ser una tarea fácil, tal vez para el sí. Le propusieron el siguiente problema, a tipo de prueba selectiva para saber si Leibniz era digno de ser matemático.

El problema era el siguiente: calcular la suma de la siguiente serie infinita:

S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}...

Así a priori, podemos pensar que la siguiente serie está formada por elementos aleatorios, pero en realidad, se trata de la suma de los inversos de los números triangulares. Pero, que es un número triangular?

Imaginaos que tenéis sobre una mesa un conjunto de piezas , todas ellas iguales,por ejemplo garbanzos. La pregunta es: de cuantas maneras podemos formar un triangulo equilátero cogiendo dichos garbanzos? Una imagen vale más que mil palabras:

physematics

Pero no solo existen los números triangulares, sino también los números cuadrados (se corresponden a los cuadrados perfectos),números pentagonales, hexagonales,heptagonales… Es más, si sumamos dos números triangulares iguales,obtenemos un numero oblongo, es decir, un numero cuya figura se corresponde a un romboide (recordad que un romboide siempre se puede dividir por una de sus diagonales en dos triángulos, no os parece demasiado potente la idea? La geometría está estrechamente relacionadas con los números.

Volviendo a la prueba selectiva de Leibniz, recordemos la serie:

S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}...

Leibniz,que como era un genio, no se dispuso a calcular la serie,sino la mitad de su suma (dividimos cada elemento de la serie por 2, es decir, multiplicamos cada denominador por 2):

\frac{S_n}{2} =\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}...

Leibniz observó que la mitad de la suma, a los efectos de calcular sus sumas parciales,puede ser escrita en la forma telescópica (el 1 se transforma en 1-\frac{1}{2} , el \frac{1}{6} se transforma en \frac{1}{2}-\frac{1}{3} y así hasta \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} :

\frac{S_n}{2} =(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})...+...(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})

Donde como podemos comprobar, cada elemento a partir del \frac{1}{2} se anula con el primer elemento del siguiente sumando , y asi llegando hasta \frac{1}{n+1}. Es decir, llegamos a que la mitad de la suma de n elementos tiene la forma:

\frac{S_n}{2}=1-\frac{1}{n+1}

Por lo tanto, para calcular la suma de infinitos elementos de nuestra serie mitad, solo debemos aplicar limites:

\lim_{n \to \infty}(1-\frac{1}{n+1})=1

Lo que trivialmente es 1 , ya que el 2º elemento se va a 0.

Nos falta multiplicar dicho resultado por 2, ya que lo que se le planteaba a Leibniz no era calcular la mitad de la suma, sino la suma entera.

S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{1}{15}...=2

Está claro que Leibniz no era ese tipo de personas que te sueles encontrar por la calle,pero,lo que realmente me gustaría que os quedarais de esta entrada, no es con el potencial en las matemáticas de este alemán, sino que matemáticas y naturaleza van de la mano.

”Las matemáticas son el lenguaje con el que Dios escribió el universo”

Galileo Galilei (15/2/1564 , 8/1/1642)

PD: Siento lo del Latex tan pequeño, si alguien conoce alguna forma de aumentarlo, que lo ponga en un comentario. No dudéis en seguirme en Twitter y en Facebook para estar al tanto de las nuevas entradas.

Felices Fiestas a tod@s.

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3 comentarios en “Leibniz,series infinitas y los números poligonales

  1. Me ha impresionado!
    Lo cierto es que visto así, desde fuera, es admirable ver cómo se logra resolver algo tan complejo, pero cuando te pones tú a resolverlo pasa de ser brillante y admirable a odioso…

    Le gusta a 1 persona

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